Tres experiencias para que la derivada aparezca primero como rapidez de cambio e inclinación, y recién después como fórmula. Están ordenadas como una secuencia: mirar de cerca, necesitar la idea, y finalmente leerla en un gráfico.
Elige una curva y un punto P. Aumenta el zoom y observa qué le pasa a la forma de la curva. Luego acerca un segundo punto Q hacia P, por la derecha y por la izquierda, y mira cómo las rectas secantes PQ se van pareciendo cada vez más a una sola recta.
| Distancia de Q a P | Δy / Δx por la izquierda | Δy / Δx por la derecha |
|---|
Los recipientes se llenan con un caudal constante. Antes de llenar, dibuja con el dedo o el mouse cómo crees que sube la altura h a medida que pasa el tiempo t.
No hace falta ninguna fórmula. Dibuja en el gráfico de abajo cómo es la inclinación de la curva de arriba.
Mirando solo la curva de f se obtiene casi todo:
Toca o arrastra sobre la curva de f para ubicar la tangente. Luego presiona “Marcar en f′”: la pendiente medida se convierte en la altura de un punto abajo.
Curva de f
Tu dibujo de f′ (dibuja aquí)
Al final de cada módulo aparece un cierre con la institucionalización, que se desbloquea cuando el estudiante responde bien todas las preguntas del módulo. Tú los ves siempre, marcados como “vista docente”.
Linealidad local (Tall): la derivada en el punto se presenta como la pendiente de la recta que la curva “se vuelve” al acercarse. El indicador de curvatura visible permite argumentar con evidencia que la curva se endereza. La tabla conecta el registro gráfico con el numérico sin manipular el cociente incremental algebraicamente. Las rectas secantes que se acercan a la tangente ofrecen una segunda vía hacia el mismo número, y preparan la idea intuitiva de límite.
Situación a-didáctica (Brousseau). La institucionalización llega al final: la “rapidez con que cambia la altura en cada instante” es la tasa de variación instantánea, la derivada dh/dt. Aquí dh/dt = caudal / área de la superficie del agua, lo que explica por qué el cuello angosto acelera el llenado.
Conversión gráfico → gráfico (Duval) sin pasar por el tratamiento algebraico. La verificación evalúa el signo de f′ en cada tramo, que es lo central en esta etapa; la forma exacta se discute al mostrar la solución. La herramienta de tangente traslada la inclinación medida en f a una altura en f′, y el registro indica cuántas marcas usó cada estudiante. Con esto, reglas como nxn−1 llegan después como un atajo para algo ya comprendido.
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